Phương pháp giải:

Điều kiện để phương trình lượng giác \(a\,\sin \,x+b\,\cos \,x=c\) có nghiệm là: \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}\)

Lời giải chi tiết:

\(y=\frac{m\sin x+1}{\cos x+2}\Leftrightarrow y\cos x+2y=m\sin x+1\Leftrightarrow m\sin x-y\cos x=2y-1\)

Để phương trình có nghiệm x thì \({{m}^{2}}+{{y}^{2}}\ge {{(2y-1)}^{2}}\Leftrightarrow 3{{y}^{2}}-4y+1-{{m}^{2}}\le 0\Leftrightarrow \frac{2-\sqrt{1+3{{m}^{2}}}}{3}\le y\le \frac{2+\sqrt{1+3{{m}^{2}}}}{3}\)

\(\Rightarrow Max\,y=\frac{2+\sqrt{1+3{{m}^{2}}}}{3}\,\)

Theo đề bài,  \(Max\,y<2\Rightarrow \frac{2+\sqrt{1+3{{m}^{2}}}}{3}\,<2\Leftrightarrow \sqrt{1+3{{m}^{2}}}<4\Leftrightarrow 1+3{{m}^{2}}<16\Leftrightarrow {{m}^{2}}<5\Leftrightarrow -\sqrt{5}<m<\sqrt{5}\)

Mà \(m\in Z\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}\), có 5 giá trị của m thỏa mãn. 

Chọn: A