Phương pháp giải:

Hàm số \(y=f(x)\)đồng biến trên \(D\)khi và chỉ khi \(f'(x)\ge 0,\,\,\forall x\in D\), ( bằng 0 tại hữu hạn điểm trên D).

Lời giải chi tiết:

\(y=\frac{mx-2m-3}{x-m}\Rightarrow y'=\frac{-{{m}^{2}}+2m+3}{{{(x-m)}^{2}}},\,\,\left( x\ne m \right)\)

Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 2;+\infty  \right)\)thì 

\(\left\{ \begin{array}{l} - {m^2} + 2m + 3 \ge 0\\m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le m \le 3\\m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 2\)

Mà \(m\in Z\Rightarrow m\in \left\{ -1;0;1;2 \right\}\Rightarrow S=\left\{ -1;0;1;2 \right\}\)

Với \(m=-1\), hàm số có dạng \(y=\frac{-x+2-3}{x+1}=-1\) là hàm hằng, do đó không thỏa mãn.

Số phần tử của S là: 3

Chọn: A