Câu hỏi
Cho hàm số \(y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+{{m}^{2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Để đồ thị \(\left( C \right)\) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho 4 điểm A, B, C, O là bốn đỉnh của hình thoi (O là gốc tọa độ) thì giá trị của tham số m là:
- A
\(m=-\sqrt{2}\)
- B
\(m=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\)
- C
\(m=\pm \sqrt{2}\)
- D \(m=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Phương pháp giải:
+) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị.
+) Xác định các điểm cực trị của đồ thị hàm số A, B, C \(\left( A\in Oy \right)\).
+) Gọi I là trung điểm của BC, để ABOC là hình thoi \(\Rightarrow I\) là trung điểm của OA.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D=R\).
Ta có \(y'=4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} x=0 \\ {{x}^{2}}={{m}^{2}} \\ \end{align} \right.\)
Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị \(\Leftrightarrow m>0\).
Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A\left( 0;{{m}^{2}} \right);\,\,B\left( m;-{{m}^{4}}+{{m}^{2}} \right);\,\,C\left( -m;-{{m}^{4}}+{{m}^{2}} \right)\)
Dễ thấy B, C đối xứng qua trục Oy.
Gọi I là trung điểm của BC ta có \(I\left( 0;-{{m}^{4}}+{{m}^{2}} \right)\) . Để tứ giác ABOC là hình thoi \(\Rightarrow I\) phải là trung điểm của OA \(\Rightarrow {{m}^{2}}=-2{{m}^{4}}+2{{m}^{2}}\Leftrightarrow 2{{m}^{4}}={{m}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}\left( 2{{m}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{\sqrt{2}}\).
Chọn D.
Câu hỏi trước
