Phương pháp giải:

Diện tích xung quanh của hình nón: \({{S}_{xq}}=\pi Rl\)

Lời giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow OM\bot AB\). Mà \(OM\bot SO\) (vì \(SO\) vuông góc với đáy)

\(\Rightarrow OM\) là đoạn vuông góc chung của SO và AB.\(\Rightarrow d(SO;AB)=OM=3\)

Tam giác OMA vuông tại M:  \(O{{A}^{2}}=O{{M}^{2}}+M{{A}^{2}}\Rightarrow {{R}^{2}}={{3}^{2}}+M{{A}^{2}}\Rightarrow MA=\sqrt{{{R}^{2}}-9}\)

Tam giác SAB vuông tại A có \(SA=SB\) ( vì \(\Delta SOB=\Delta SOA\,(c.g.c)\))

\(\Rightarrow \Delta SAB\) vuông cân tại S \(\Rightarrow SA=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{2AM}{\sqrt{2}}=AM.\sqrt{2}=\sqrt{2{{R}^{2}}-18}\)

(N) có góc ở đỉnh là \({{120}^{0}}\Rightarrow \widehat{ASO}={{60}^{0}}\)

Tam giác SOA vuông tại O:

\(\begin{array}{l}
\sin \widehat {OSA{\mkern 1mu} } = \frac{{OA}}{{SA}} \Rightarrow \sin {60^0} = \frac{R}{{\sqrt {2{R^2} - 18} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow 2R = \sqrt 3 .\sqrt {2{R^2} - 18} \\
\Leftrightarrow 4{R^2} = 6{R^2} - 54 \Leftrightarrow {R^2} = 27 \Rightarrow R = 3\sqrt 3
\end{array}\)

\(l=SA=\sqrt{2{{R}^{2}}-18}=\sqrt{2.27-18}=\sqrt{36}=6\)

\({{S}_{xq}}=\pi Rl=\pi .3\sqrt{3}.6=18\pi \sqrt{3}\)

Chọn: C