Phương pháp giải:

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất \(y=\frac{ax+b}{cx+d},\,\,\left( a,c,ad-cd\ne 0 \right)\) có TCĐ: \(x=-\frac{d}{c}\) , TCN: \(y=\frac{a}{c}\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D=R\backslash \left\{ 2 \right\}\)

\(y=\frac{2x-3}{x-2}\) (C) có 2 đường tiệm cận: \(x=2,\,\,y=2\)

Ta có \(y'=\frac{-1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\)

Gọi \(M({{x}_{0}};{{y}_{0}}),\,\,({{x}_{0}}\ne 0)\) là tiếp điểm. Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình :

        \(y=y'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}\Leftrightarrow y=-\frac{x-{{x}_{0}}}{{{({{x}_{0}}-2)}^{2}}}+\frac{2{{x}_{0}}-3}{{{x}_{0}}-2}\,\,\,(d)\)

Cho \(x=2\Rightarrow y=\frac{1}{{{x}_{0}}-2}+\frac{2{{x}_{0}}-3}{{{x}_{0}}-2}=\frac{2{{x}_{0}}-2}{{{x}_{0}}-2}\Rightarrow (d)\) cắt TCĐ của (C) tại điểm \(A\left( 2;\frac{2{{x}_{0}}-2}{{{x}_{0}}-2} \right)\).

Cho \(y=2\Rightarrow 2=-\frac{x-{{x}_{0}}}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}+\frac{2{{x}_{0}}-3}{{{x}_{0}}-2}\Leftrightarrow 2{{({{x}_{0}}-2)}^{2}}=-x+{{x}_{0}}+(2{{x}_{0}}-3)({{x}_{0}}-2)\)

\(\Leftrightarrow 2{{x}_{0}}^{2}-8{{x}_{0}}+8=-x+{{x}_{0}}+2{{x}_{0}}^{2}-7{{x}_{0}}+6\Leftrightarrow x=2{{x}_{0}}-2\Rightarrow (d)\)cắt TCN của (C) tại điểm \(B\left( 2{{x}_{0}}-2;2 \right)\)

Độ dài đoạn AB: \(\begin{align}  \sqrt{{{\left( 2-(2{{x}_{0}}-2) \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2{{x}_{0}}-2}{{{x}_{0}}-2}-2 \right)}^{2}}}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow 4{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{{{x}_{0}}-2} \right)}^{2}}=8\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{4}}-2{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}+1=0 \\  \Leftrightarrow {{\left[ {{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}-1 \right]}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}=1 \\ \end{align}\)

Hệ số góc của tiếp tuyến \(y'({{x}_{0}})=-\frac{1}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}=-\frac{1}{1}=-1\).

Chọn: D