Phương pháp giải:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;b \right]\).

+) Giải phương trình \(y'=0\Rightarrow \) các nghiệm \({{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\).

+) Tính các giá trị \(f\left( a \right);\,f\left( b \right);\,\,f\left( {{x}_{i}} \right)\).

+) So sánh và kết luận: \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x}_{i}} \right) \right\};\,\,\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x}_{i}} \right) \right\}\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: D = R.

\(\begin{array}{l}y' = 3{x^2} - 12x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 \in \left[ {1;5} \right]\\x = 0 \notin \left[ {1;5} \right]\end{array} \right.\\f\left( 1 \right) = 2;f\left( 5 \right) =  - 18;f\left( 4 \right) =  - 25\\ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;5} \right]}  = 2 = M;\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;5} \right]}  =  - 25 = m \Rightarrow M + m =  - 23\end{array}\)

Chọn D.