Phương pháp giải:

Tính độ dài cung AB chính là chu vi đường tròn đáy của hình nón, suy ra bán kính đáy r của hình nón.

Sử dụng công thức \(h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}\) suy ra độ dài đường cao của hình nón.

Sử dụng công thức tính thể tích hình nón \(V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h\)

Lời giải chi tiết:

Độ dài cung AB là xR cũng chính là chu vi đáy của hình nón \(\Rightarrow r=\frac{xR}{2\pi }\)

\(\Rightarrow h=\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{x}^{2}}{{R}^{2}}}{4{{\pi }^{2}}}}=\frac{R}{2\pi }\sqrt{4{{\pi }^{2}}-{{x}^{2}}}\)

\(\Rightarrow \) Thể tích của hình nón \(V=\frac{1}{3}\pi {{\left( \frac{xR}{2\pi } \right)}^{2}}.\frac{R}{2\pi }\sqrt{4{{\pi }^{2}}-{{x}^{2}}}=\frac{\pi }{3}.{{\left( \frac{R}{2\pi } \right)}^{3}}{{x}^{2}}\sqrt{4{{\pi }^{2}}-{{x}^{2}}}\)

Xét hàm số 

\(f'\left( x \right) = 2x\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}}  + {x^2}\frac{{ - x}}{{\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} }} = \frac{{2x\left( {4{\pi ^2} - {x^2}} \right) - {x^3}}}{{\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2\left( {4{\pi ^2} - {x^2}} \right) = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\pi \end{array} \right.\)

Lập BBT ta thấy \(f{{\left( x \right)}_{\max }}=f\left( \frac{2\sqrt{6}}{3}\pi  \right)\).

Chọn B.