Câu hỏi
Với n là số nguyên dương, gọi \({{a}_{3n-3}}\) là hệ số của \({{x}^{3n-3}}\) trong khai triển thành đa thức của \({{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{n}}{{\left( x+2 \right)}^{n}}\). Tìm n để \({{a}_{3n-3}}=26n\).
- A
\(n=7\)
- B
\(n=5\)
- C
\(n=6\)
- D \(n=4\)
Phương pháp giải:
Sử dụng khai triển của nhị thức Newton.
Lời giải chi tiết:
\({{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{n}}{{\left( x+2 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}.{{x}^{2k}}}\sum\limits_{l=0}^{n}{C_{n}^{l}{{x}^{l}}{{2}^{n-l}}}\)
Tìm hệ số của \({{x}^{3n-3}}\) ta cho \(2k+l=3n-3\Leftrightarrow \left[ \begin{align} k=n;\,\,l=n-3 \\ k=n-1;\,\,l=n-1 \\ \end{align} \right.\)
\(\begin{align} \Rightarrow {{a}_{3n-3}}=C_{n}^{n}.C_{n}^{n-3}{{.2}^{3}}+C_{n}^{n-1}.C_{n}^{n-1}{{2}^{1}}=\frac{8n!}{3!\left( n-3 \right)!}+2{{n}^{2}}=8n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)+2{{n}^{2}}=26n \\ \Leftrightarrow \frac{4}{3}\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)+2n=26 \\ \Leftrightarrow 4{{n}^{2}}-6n-70=0\Leftrightarrow n=5 \\ \end{align}\)
Chọn B.
Câu hỏi trước
