Phương pháp giải:

Sử dụng điều kiện để một điểm là điểm cực trị của đồ thị hàm số

Lời giải chi tiết:

 Ta có \(y=ax+b+\frac{c}{x+1}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,{y}'=a-\frac{c}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}};\,\,\forall x\ne -\,1.\)

Vì \(M\left( -\,2;5 \right),\,\,N\left( 0;13 \right)\) là các điểm cực trị  \( \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
y'\left( { - \,2} \right) = 0\\
y'\left( 0 \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a - c = 0\\
a - c = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,a = c.\)

Và  \(\left\{ \begin{array}{l}
y\left( { - \,2} \right) = 5\\
y\left( 0 \right) = 13
\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
- \,2a + b - c = 5\\
b + c = 13
\end{array} \right.\)

mà \(a=c\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=c=2 \\ & b=11 \\ \end{align} \right.\ \ \ \Rightarrow y\left( x \right)=2x+11+\frac{2}{x+1}.\)

Vậy \(y\left( 2 \right)=2.2+11+\frac{2}{3}=\frac{47}{3}.\)

Chọn D