Phương pháp giải:

 Sử dụng khai triển nhị thức Newton. 

Lời giải chi tiết:

Ta có \({{\left( 1+2x \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k}}}\,\,\left( k\in Z \right)\)

\(\begin{align} & \Rightarrow {{a}_{k}}=C_{n}^{k}{{2}^{k}};\,\,{{a}_{k+1}}=C_{n}^{k+1}{{2}^{k+1}} \\ & \Leftrightarrow C_{n}^{k}{{2}^{k}}=C_{n}^{k+1}{{2}^{k+1}}\Leftrightarrow \frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}{{2}^{k}}=\frac{n!}{\left( k+1 \right)!\left( n-k-1 \right)!}{{2}^{k+1}} \\ & \Leftrightarrow \frac{1}{n-k}=\frac{2}{k+1} \\ & \Leftrightarrow k+1=2n-2k\Leftrightarrow n=\frac{3k+1}{2} \\ \end{align}\)

Ta có \(n\in \left[ 1;2018 \right]\Rightarrow k\in \left[ \frac{1}{3};1345 \right]\)

Do n là số nguyên nên 3k + 1 là số chẵn \(\Rightarrow k\) là số lẻ, thuộc đoạn \(\left[ \frac{1}{3};1345 \right]\Rightarrow \) có 673 số nguyên k thỏa mãn.

Với mỗi số nguyên k xác định 1 số nguyên n.

Vậy có 673 số nguyên n thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.