Phương pháp giải:

Cách 1:

+) Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số \(y=f\left( x \right)\) từ đó suy ra hàm số \(y=f\left( x-1 \right)\) và đồ thị hàm số \(y=\left| f\left( x-1 \right) \right|.\)

+) Số nghiệm của pt \(\left| f\left( x-1 \right) \right|=2\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=\left| f\left( x-1 \right) \right|\) và đường thẳng \(y=2.\)

Cách 2:

+) Để có đồ thị hàm số \(y=f\left( x-1 \right)\) ta tịnh tiến đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) sang phải 1 đơn vị.

+) Lập bảng biến thiên của hàm số \(y=f\left( x-1 \right)\) từ đó suy ra dáng điệu đồ thị hàm số \(y=\left| f\left( x-1 \right) \right|\) và biện luận số nghiệm của phương trình \(\left| f\left( x-1 \right) \right|=2.\) 

Lời giải chi tiết:

 Dựa vào BBT của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) ta suy ra BBT của đồ thị hàm số \(y=f\left( x-1 \right)\) bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) theo vector \(\overrightarrow{v}=\left( 1;0 \right)\).

BBT đồ thị hàm số \(y=f\left( x-1 \right)\):

Từ đó ta suy ra đồ thị hàm số \(y=\left| f\left( x-1 \right) \right|\) có BBT như sau:

Số nghiệm của phương trình \(\left| f\left( x-1 \right) \right|=2\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=\left| f\left( x-1 \right) \right|\) và đường thẳng \(y=2\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y=2\) cắt đồ thị hàm số \(y=\left| f\left( x-1 \right) \right|\) tại 5 điểm phân biệt, do đó phương trình \(\left| f\left( x-1 \right) \right|=2\) có 5 nghiệm phân biệt.

Chọn A. .