Phương pháp giải:

Lập phương trình tiếp tuyến, sử dụng điều kiện tiếp xúc để tìm tham số m 

Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) đi qua \(M,\) có hệ số góc \(k\) là \(d:y=k\left( x-m \right)-4.\)

Vì \(\left( C \right)\) tiếp xúc với \(d\) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{align} & 3{{x}^{2}}-6x=k \\ & {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=k\left( x-m \right)-4 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)\left( x-m \right)-4\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4=\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)\left( x-m \right)\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)=3x\left( x-2 \right)\left( x-m \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 2 = 0\\
{x^2} - x - 2 = 3x\left( {x - m} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
{x^2} - x - 2 = 3{x^2} - 3mx
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
\underbrace {2{x^2} - \left( {3m - 1} \right)x + 2}_{f\left( x \right)} = 0
\end{array} \right.\)

Để từ \(M\) kẻ được \(3\) tiếp tuyến tới \(\left( C \right)\)\(\Leftrightarrow \,\,f\left( x \right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt, khác \(2\) \( \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
m \ne 2\\
\left[ \begin{array}{l}
m > \frac{5}{3}\\
m < - \,1
\end{array} \right.
\end{array} \right..\)

Kết hợp với \(\left\{ \begin{align} & m\in Z \\ & m\in \left[ -\,10;10 \right] \\ \end{align} \right.\Rightarrow m\in \left[ -10;-1 \right)\cup \left( \frac{5}{3};10 \right]\backslash \left\{ 2 \right\}\Rightarrow \) có 8 + 9 = 17 giá trị nguyên \(m\) cần tìm.

Chọn C.