Lời giải chi tiết:

\(y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+(m-1)x+2018\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-12x+m-1\)

\(y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-12x+m-1=0\) (1)

\(\Delta '=36-3.(m-1)=39-3m\)

+) \(\Delta \le 0\Leftrightarrow m\ge 13\Rightarrow y'\ge 0,\,\,\forall x\in R\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(R\supset \left( 1;+\infty  \right)\).

+) \(\Delta >0\Leftrightarrow m<13\): Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}},\,\,\left( {{x}_{1}}<\,{{x}_{2}} \right)\)

Theo đinh lí Viet ta có \(\left\{ \begin{align}  {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4 \\  {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m-1}{3} \\ \end{align} \right.\)

Khi đó, để hàm số đồng biến trên khoảng\(\left( 1;+\infty  \right)\) thì 

 \({x_1} < {x_2} \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} - 1 < 0\\{x_2} - 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \ge 0\\\left( {{x_1} - 1} \right) + \left( {{x_2} - 1} \right) < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} - ({x_1} + {x_2}) + 1 > 0\\{x_1} + {x_2} - 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{m - 1}}{3} - 4 + 1 > 0\\4 - 2 < 0\end{array} \right.\) (vô lí) 

Vậy, \(m\ge 13\).

Mà \(m\le 2018,\,\,m\in {{Z}^{+}}\Rightarrow m\in \left\{ 13;14;15;...;2018 \right\}\)

Số giá trị của m thỏa mãn là: 2018 – 13 + 1 = 2006.

Chọn: D