Phương pháp giải:

Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x={{x}_{0}}\) thì \({{x}_{0}}\) là nghiệm của phương trình mẫu mà không là nghiệm của phương trình tử.

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(x\ge -1\) và \({{x}^{2}}-\left( 1-m \right)x+2m>0\)

Xét phương trình \(1+\sqrt{x+1}=0\) vô nghiệm.

Xét phương trình \({{x}^{2}}-\left( 1-m \right)x+2m=0\,\,\left( * \right)\). Để đồ thị hàm số có hai TCĐ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐK \(x\ge -1\).

\(\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{\left( 1-m \right)}^{2}}-8m>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-10m+1>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}m>5+2\sqrt{6} \\m<5-2\sqrt{6} \\\end{align} \right.\)

Khi đó gọi hai nghiệm của phương trình là \({{x}_{1}}>{{x}_{2}}\) ta có:

\({x_1} > {x_2} \ge  - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}af\left( { - 1} \right) \ge 0\\\frac{S}{2} >  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 \ge 0\\2 - m >  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge  - 2\\m < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 \le m < 4\)

Kết hợp điều kiện ta có: \(m\in \left[ -2;5-2\sqrt{6} \right)\overset{m\in Z}{\mathop{\Rightarrow }}\,m\in \left\{ -2;-1;0 \right\}\)

Thử lại:

Với \(m=-2\Rightarrow {{x}^{2}}-3x-4>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}x>4 \\x<-1 \\\end{align} \right.\Rightarrow TXD:\,\,\,D=\left( 4;+\infty  \right)\)

Khi đó hàm số có dạng \(y=\frac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}-3x-4}}\) có 1 tiệm cận đứng \(x=4\Rightarrow \)  Loại.

Với \(m=-1\Rightarrow {{x}^{2}}-2x-2>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}x>1+\sqrt{3} \\x<1-\sqrt{3} \\\end{align} \right.\Rightarrow TXD:\,\,\,D=\left[ -1;1-\sqrt{3} \right)\cup \left( 1+\sqrt{3};+\infty  \right)\)

Khi đó hàm số có dạng \(y=\frac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x-2}}\) có 2 tiệm cận đứng \(x=1\pm \sqrt{3}\Rightarrow \)  TM.

Khi \(m=0\Rightarrow {{x}^{2}}-x>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}x>1 \\x<0 \\\end{align} \right.\Rightarrow TXD:\,\,D=\left[ -1;1 \right)\cup \left( 0;+\infty  \right)\)

Khi đó hàm số có dạng  \(y=\frac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}-x}}\) có 2 tiệm cận đứng \(x=0;x=1\Rightarrow \) TM.

Vậy \(m\in \left\{ -1;0 \right\}\).

Chọn C.