Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.

Lời giải chi tiết:

Gắn hệ trục Oxyz, có các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các tia AB, AD, AA’.

\(A(0;0;0),\,\,B(1;0;0),\,\,C(1;2;0),\,\,D(0;2;0),\,\,A'(0;0;3),\,\,B'(1;0;3),\,C'(1;2;3),\,\,D'(0;2;3)\)

(P) cắt các tia AB, AD, AA’ lần lượt tại E, F, G (khác A). Gọi \(E(a;0;0),\,F(0;b;0),G(0;0;c),\,\,\left( a,b,c>0 \right)\)

Phương trình mặt phẳng (P): \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)

\(C'(1;2;3)\in \left( P \right)\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1\)

Thể tích tứ diện AEFG:  \(V=\frac{1}{6}AE.AF.AG=\frac{1}{6}abc\).

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\ge 3.\sqrt[3]{\frac{1}{a}.\frac{2}{b}.\frac{3}{c}}\Leftrightarrow 1\ge \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}}\Leftrightarrow \sqrt[3]{abc}\ge 3\sqrt[3]{6}\Leftrightarrow abc\ge 162\Leftrightarrow \frac{1}{6}abc\ge 27\Leftrightarrow V\ge 27\)

 \(\Rightarrow {{V}_{\min }}=27\) khi và chỉ khi   \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c}\\\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 6\\c = 9\end{array} \right.\)

Khi đó, \(T=AE+AF+AG=a+b+c=3+6+9=18\)

Chọn: D