Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\left\{ \begin{align}  \left( P \right)\bot \left( Q \right) \\  \left( P \right)\cap \left( Q \right)=\Delta  \\  \left( P \right)\supset AC\bot \Delta  \\ \end{align} \right.\Rightarrow AC\bot \left( Q \right)\)

Gọi I là trung điểm của AD, do \(\Delta ABD\) vuông tại \(B\) nên \(M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABD\).

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\).

Qua \(M\) kẻ đường thẳng d song song với AC \(\Rightarrow d\bot \left( ABD \right)\)

Qua N kẻ đường thẳng d’ song song với AD

\(\Rightarrow d'\bot AC\)

Gọi \(I=d\cap d'\Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) có bán kính \(R=IA\).

Ta có: \(AM=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2};\,AN=\frac{a}{2}\Rightarrow AI=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{2}+\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Chọn D.