Phương pháp giải:

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ  : \(y=f'\left( m-2 \right)\left( x-m+2 \right)+y\left( m-2 \right)\,\,\left( d \right)\)

+) Xác định các giao điểm của d và các đường tiệm cận \(\Rightarrow {{x}_{2}};{{y}_{1}}\)

+) Thay vào phương trình  giải tìm các giá trị của m.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D=R\backslash \left\{ -2 \right\}\).

Ta có \(y'=\frac{3}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\Rightarrow y'\left( m-2 \right)=\frac{3}{{{m}^{2}}};\,\,y\left( m-2 \right)=\frac{m-2-1}{m-2+2}=\frac{m-3}{m}\)

\(\Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ  là :

\(y=\frac{3}{{{m}^{2}}}\left( x-m+2 \right)+\frac{m-3}{m}\,\,\left( d \right)\)

Đồ thị hàm số   có đường TCN \(y=1\) và tiệm cậm đứng \(x=-2\).

\(\begin{array}{l}*y\left( { - 2} \right) = \frac{3}{{{m^2}}}\left( { - m} \right) + \frac{{m - 3}}{m} = \frac{{ - 3}}{m} + \frac{{m - 3}}{m} = \frac{{m - 6}}{m} \Rightarrow A\left( { - 2;\frac{{m - 6}}{m}} \right) \Rightarrow {y_1} = \frac{{m - 6}}{m}\\*1 = \frac{3}{{{m^2}}}\left( {x - m + 2} \right) + \frac{{m - 3}}{m} \Rightarrow \frac{{3\left( {x - m + 2} \right) - 3m}}{{{m^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow x - m + 2 = m \Leftrightarrow x = 2m - 2 \Rightarrow B\left( {2m - 2;1} \right) \Rightarrow {x_2} = 2m - 2\\ \Rightarrow {x_2} + {y_1} = 2m - 2 + \frac{{m - 6}}{m} =  - 5 \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m + m - 6 =  - 5m\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow S = \left\{ {1; - 3} \right\} \Rightarrow {1^2} + {\left( { - 3} \right)^2} = 10\end{array}\)

Chọn C.