Phương pháp giải:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau \(\Leftrightarrow y'\left( {{x}_{M}} \right)=y'\left( {{x}_{N}} \right)\,\,\,\left( {{x}_{M}}\ne {{x}_{N}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}\,\,\left( x\ne 1 \right)\Rightarrow y'=\frac{-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\)

Gọi \(M\left( {{x}_{M}};1+\frac{2}{{{x}_{M}}-1} \right);\,\,N\left( {{x}_{M}};1+\frac{2}{{{x}_{N}}-1} \right)\) là hai điểm thuộc đồ thị hàm số.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau \(\Leftrightarrow y'\left( {{x}_{M}} \right)=y'\left( {{x}_{N}} \right)\,\,\,\left( {{x}_{M}}\ne {{x}_{N}} \right)\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{{{{\left( {{x_M} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {{x_N} - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 1} \right)^2} = {\left( {{x_N} - 1} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_M} = {x_N}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\
{x_M} - 1 = 1 - {x_N}\,\,\,\left( {tm} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_M} + {x_N} = 2\\
{y_M} + {y_N} = 1 + \frac{2}{{{x_M} - 1}} + 1 + \frac{2}{{{x_N} - 1}} = 2 + 2.\frac{{{x_M} - 1 + {x_N} - 1}}{{\left( {{x_M} - 1} \right)\left( {{x_N} - 1} \right)}} = 2.
\end{array}\)

Gọi I là trung điểm của MN ta có: \(I\left( 1;1 \right)\).

Dễ thấy đồ thị hàm số có TCN là \(y=1\) và tiệm cận đứng \(x=1\Rightarrow I\left( 1;1 \right)\) là giao điểm của hai đường tiệm cận \(\Rightarrow C\) đúng.

TCN \(y=1\) và tiệm cận đứng \(x=1\) rõ ràng đi qua trung điểm I của đoạn MN \(\Rightarrow B,D\) đúng.

Chọn A.