Phương pháp giải:

Dựa vào điều kiện để hàm số bậc nhất trên bậc nhất đồng biến hoặc nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y={{2}^{\frac{mx\,+\,1}{x\,+\,m}}}\Rightarrow {y}'={{\left( \frac{mx+1}{x+m} \right)}^{\prime }}{{.2}^{\frac{mx\,+\,1}{x\,+\,m}}}.\ln 2=\frac{{{m}^{2}}-1}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}{{.2}^{\frac{mx\,+\,1}{x\,+\,m}}}.\ln 2;\,\,\forall x\ne -\,m.\)

Hàm số nghịch biến trên \(\left( \frac{1}{2};+\,\infty  \right)\)\(\Leftrightarrow \,\,\frac{{{m}^{2}}-1}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}<0;\,\,\forall x>\frac{1}{2}\Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{align}  {{m}^{2}}-1<0 \\  x=-\,m\notin \left( \frac{1}{2};+\,\infty  \right) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \,\,-\frac{1}{2}\le m<1.\)

Chọn A.