Phương pháp giải:

Dựng hình, tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ và tính bán kính dựa vào tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

Xét lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có cạnh bằng \(a.\)

Gọi \(O\) là tâm tam giác \(ABC,\) \(M\) là trung điểm của \(A{A}'.\)

Qua \(O\) kẻ \({{d}_{1}}\bot \left( ABC \right),\) qua \(M\) kẻ \({{d}_{2}}\bot A{A}'\) và \({{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}=I.\)

Suy ra \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'.\)

Tam giác \(IAO\) vuông tại \(O,\) có \(IA=\sqrt{I{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\sqrt{R_{\Delta \,ABC}^{2}+\frac{A{{{{A}'}}^{2}}}{4}}\)

Mà \(A{A}'=a;\,\,{{R}_{\Delta \,ABC}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)\(\Rightarrow \,\,IA=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}.\)

Vậy diện tích cần tính là \({{S}_{mc}}=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{21}}{6} \right)}^{2}}=\frac{7\pi {{a}^{2}}}{3}.\)

Chọn A