Phương pháp giải:

Dựng hình vuông ABCD, xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD và tính diện tích mặt cầu \(S=4\pi {{R}^{2}}\)

Lời giải chi tiết:

Dựng hình vuông \(ABCD\Rightarrow SD\bot mp\,\left( ABCD \right).\)

Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC chính là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Kẻ \(DH\bot SC\,\,\left( H\in SC \right)\) mà \(BC\bot \left( SCD \right)\Rightarrow DH\bot \left( SBC \right).\)

Mặt khác \(AD//BC\Rightarrow D\left( A;\left( SBC \right) \right)=d\left( D;\left( SBC \right) \right)=DH=a\sqrt{2}\)

Tam giác SCD vuông tại D, có \(\frac{1}{D{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{D}^{2}}}+\frac{1}{C{{D}^{2}}}\Rightarrow SD=a\sqrt{6}\)

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là \(R=\sqrt{{{R}^{2}}_{ABCD}+\frac{S{{D}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{6}}{4} \right)}^{2}}}=a\sqrt{3}\)

Vậy diện tích mặt cầu cần tính là \(S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}=12\pi {{a}^{2}}.\)

Đáp án C.