Phương pháp giải:

Xét max – min của hàm trong dấu trị tuyệt đối, dựa vào đồ thị hàm số trị tuyệt đối để tìm max

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(t=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{19}{2}{{x}^{2}}+30x-20\) trên \(\left[ 0;2 \right],\) có \({t}'={{x}^{3}}-19x+30;\,\,\forall x\in \left[ 0;2 \right].\)

Phương trình \({t}'=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  0\le x\le 2 \\  {{x}^{3}}-19x+30=0 \\ \end{align} \right..\)

Tính \(t\left( 0 \right)=-\,20;\,\,t\left( 2 \right)=6\)\(\Rightarrow \,\,-\,20\le t\le 6.\)

Khi đó \(\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\underset{\left[ -\,20;6 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| t+m \right|=\left\{ \left| m-20 \right|;\,\,\left| m+6 \right| \right\}=13+\left| m-7 \right|\le 20\Leftrightarrow 0\le m\le 14.\)

Kết hợp với \(m\in \mathbb{Z}\)\(\Rightarrow \)\(m=\left\{ 0;\,\,1;\,\,...;\,\,14 \right\}\)\(\Rightarrow \sum{m}=\frac{14.15}{2}=105.\)

Chọn A