Phương pháp giải:

Tính đạo hàm, sử dụng điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng

Lời giải chi tiết:

Ta có \({y}'=3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5;\,\,\forall x\in \mathbb{R}.\)

Hàm số đồng biến trên \(\left( 2;+\,\infty  \right)\)\(\Leftrightarrow \,\,{y}'\ge 0;\,\,\forall x>2\)\(\Leftrightarrow \,\,3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5\ge 0.\)

\(\Leftrightarrow \,\,3{{x}^{2}}-6x+5\ge 12m\left( x-1 \right)\Leftrightarrow \,\,12m\le f\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}-6x+5}{x-1};\,\,\forall x>2\Leftrightarrow \,\,12m\le \underset{\left[ 2;+\,\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right).\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}-6x+5}{x-1}\) trên \(\left[ 2;+\,\infty  \right),\) có \({f}'\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}-6x+1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0;\,\,\forall x\ge 2.\)

Suy ra \(f\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ 2;+\,\infty  \right)\)\(\Rightarrow \,\,\)\(\underset{\left[ 2;+\,\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=5.\)

Vậy \(12m\le 5\Leftrightarrow m\le \frac{5}{12},\) kết hợp với \(m\in {{\mathbb{Z}}^{\,+}}\)\(\Rightarrow \) Không có giá trị nào của \(m.\)

Chọn C