Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hàm số giải bất phương trình (1), suy ra điều kiện của nghiệm x.

Bất phương trình (2), cô lập m, đưa về dạng \(m\ge f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;b \right]\) có nghiệm \(\Rightarrow m\ge \underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(x\ge -1\)

\(\begin{align}  & {{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}-{{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2017x\le 2017 \\  & \Leftrightarrow {{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}+\frac{2017}{2}\left( 2x+\sqrt{x+1} \right)\le {{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+\frac{2017}{2}\left( 2+\sqrt{x+1} \right) \\ \end{align}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{3}^{t}}+\frac{2017}{2}t\) có \(f'\left( t \right)={{3}^{t}}.\ln 3+\frac{2017}{2}>0\,\,\forall t\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên R.

\(f\left( 2x+\sqrt{x+1} \right)\le f\left( 2+\sqrt{x+1} \right)\Leftrightarrow 2x+\sqrt{x+1}\le 2+\sqrt{x+1}\Leftrightarrow x\le 1\) 

Để hệ phương trình có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm \(x\in \left[ -1;1 \right]\).

\({{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x+2m+3\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+3\ge m\left( x-2 \right)\)

Với \(x\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow x-2<0\Rightarrow m\ge \frac{{{x}^{2}}-2x+3}{x-2}=f\left( x \right)\)

Để phương trình có nghiệm \(x\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow m\ge \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=-2\) (sử dụng MTCT để tìm GTNN).

Chọn D.