Phương pháp giải:

+) Xác định mặt phẳng (P) chứa AB và song song với OO’.

+) \(d\left( OO';AB \right)=d\left( OO';\left( P \right) \right)\)

Lời giải chi tiết:

Dựng \(AA'//OO'\) ta có : \(\widehat{\left( OO';AB \right)}=\widehat{\left( AA';AB \right)}=\widehat{A'AB}={{30}^{0}}\)

Gọi M là trung điểm của A’B ta có :

\(\left\{ \begin{align} & O'M\bot A'B \\  & O'M\bot AA' \\ \end{align} \right.\Rightarrow O'M\bot \left( ABA' \right)\Rightarrow O'M=d\left( O';\left( ABA' \right) \right)\)

\(\begin{align} & OO'//AA'\Rightarrow OO'//\left( ABA' \right)\supset AB\Rightarrow d\left( OO';AB \right)=d\left( OO';\left( ABA' \right) \right) \\ & =d\left( O'\left( ABA' \right) \right)=O'M \\ \end{align}\)

Xét tam giác vuông ABA’ có \(A'B=AA'.\tan 30=a\sqrt{3}.\frac{1}{\sqrt{3}}=a\)

\(\Rightarrow MB=\frac{a}{2}\)

Xét tam giác vuông O’MB có \(O'M=\sqrt{O'{{B}^{2}}-M{{B}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Chọn D.