Phương pháp giải:

Cách 1: Gắn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho \(A'\left( 0;0;0 \right),\,\,B'\left( 1;0;0 \right);D'\left( 0;1;0 \right);A\left( 0;0;1 \right)\).

Xác định tọa độ các điểm M, N.

Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(d\left( MN;B'D' \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{B'D'};\overrightarrow{MN} \right].\overrightarrow{NB'} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{B'D'};\overrightarrow{MN} \right] \right|}\)

Cách 2: Xác định mặt phẳng (P) chứa B’D’ và song song với MN, khi đó

\(d\left( MN;B'D' \right)=d\left( B'D';\left( P \right) \right)=d\left( O;\left( P \right) \right)\) (với O là trung điểm của \(B'D'\)).

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ với \(A'\left( 0;0;0 \right)\)

\(\begin{align} & B'\left( 1;0;0 \right);D'\left( 0;1;0 \right);A\left( 0;0;1 \right),\,\,C\left( 1;1;1 \right);\,\,C'\left( 1;1;0 \right);\,\, \\ & B\left( 1;0;1 \right);\,\,D\left( 0;1;1 \right) \\ \end{align}\)

Ta có: \(M\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};1 \right);N\left( 1;\frac{1}{2};0 \right)\)

Khi đó \(\overrightarrow{B'D'}=\left( -1;1;0 \right);\overrightarrow{MN}=\left( \frac{1}{2};0;-1 \right)\)

Suy ra \(\left[ \overrightarrow{B'D'};\overrightarrow{MN} \right]=\left( -1;-1;\frac{-1}{2} \right)\)

\(\overrightarrow{NB'}=\left( 0;\frac{1}{2};0 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{B'D'};\overrightarrow{MN} \right].\overrightarrow{NB'}=-\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow d\left( MN;B'D' \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{B'D'};\overrightarrow{MN} \right].\overrightarrow{NB'} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{B'D'};\overrightarrow{MN} \right] \right|}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}\)

Cách 2: Gọi P là trung điểm của \(C'D'\) suy ra \(d=d\left( O;\left( MNP \right) \right)\)

Dựng \(OE\bot NP;\ OF\bot ME\Rightarrow d=OF=\frac{MO.OE}{\sqrt{M{{O}^{2}}+O{{E}^{2}}}}\) trong đó \(MO=a;OE=\frac{a\sqrt{2}}{4}\Rightarrow d=\frac{a}{3}.\)

Chọn D.