Phương pháp giải:

+) Gọi điểm \(M\left( a;2{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+5 \right)\)  thuộc đồ thị \(\left( C \right)\).

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M: \(y=y'\left( a \right)\left( x-a \right)+2{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+5\)

+) Cho tiếp tuyến đi qua A, giải phương trình ẩn a, phương trình có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu tiếp tuyến đi qua A.

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(y'=6{{x}^{2}}-6x\)

PTTT của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( a;2{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+5 \right)\) là: \(y=\left( 6{{a}^{2}}-6a \right)\left( x-a \right)+2{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+5\)

Do tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( \frac{19}{12};4 \right)\) nên \(4=\left( 6{{a}^{2}}-6a \right)\left( \frac{19}{12}-a \right)+2{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+5\)

\(\Leftrightarrow 4{{a}^{3}}-\frac{25}{2}{{a}^{2}}+\frac{19}{2}a-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & a=\frac{1}{8} \\ & a=1 \\  & a=2 \\ \end{align} \right.\)

Vậy từ điểm \(A\left( \frac{19}{12};4 \right)\) kẻ được 3 tiếp tuyến tới \(\left( C \right)\).

Đáp án C