Phương pháp giải:

+) Gọi chiều cao của hình trụ là h, tính h theo V và R. (Sửu dụng công thức tính thế tích khối trụ : \(V=\pi {{R}^{2}}h\)).

+) Tính diện tích toàn phần của hình trụ theo V và R.

+) Để tiết kiệm vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất, sử dụng BĐT Cauchy tìm GTNN của biểu thức diện tích toàn phần : \(a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}\,\,\left( a;b;c\ge 0 \right)\)

Lời giải chi tiết:

Gọi chiều cao của hình trụ là h. Ta có: \(V=\pi {{R}^{2}}h\Rightarrow h=\frac{V}{\pi {{R}^{2}}}\)

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

\({{S}_{tp}}=2\pi {{R}^{2}}+2\pi R.\frac{V}{\pi {{R}^{2}}}=2\pi {{R}^{2}}+\frac{2V}{R}=2\pi {{R}^{2}}+\frac{V}{R}+\frac{V}{R}\ge 3\sqrt[3]{2\pi {{R}^{2}}.\frac{V}{R}.\frac{V}{R}}=3\sqrt[3]{2\pi {{V}^{2}}}\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow 2\pi {{R}^{2}}=\frac{V}{R}\Leftrightarrow R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}\)

Đáp án D.