Câu hỏi
Cho hàm số \(y=\,a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d.\) Hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi
- A \(\left[ \begin{align} & a=b=0,c>0 \\ & a>0,{{b}^{2}}-3ac\ge 0 \\ \end{align} \right.\)
- B \(a>0,{{b}^{2}}-3ac\le 0\)
- C \(\left[ \begin{align} & a=b=0,c>0 \\ & a>0,{{b}^{2}}-3ac\le 0 \\ \end{align} \right.\)
- D \(\left[ \begin{align} & a=b=0,c>0 \\ & a>0,{{b}^{2}}-4ac\le 0 \\ \end{align} \right.\)
Phương pháp giải:
+) Hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến \(\Leftrightarrow y'>0\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định và \(y'=0\) tại một số hữu hạn điểm.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c.\)
Hàm số đồng biến
\( \Leftrightarrow y' \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta ' \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
{b^2} - 3ac \le 0
\end{array} \right..\)
+) Với \(a=b=0\Rightarrow y'=c\Rightarrow y'>0\Leftrightarrow c>0.\)
Chọn C.