Phương pháp giải:

Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp

- Xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

- Vẽ đường thẳng (d) qua O và vuông góc đáy.

- Vẽ mặt phẳng trung trực của một cạnh bên bất kì cắt (d) tại I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp cần tìm và bán kính R = IA = IB = IC =…

Lời giải chi tiết:

ABCD là hình thang cân \(\Rightarrow ABCD\) là tứ giác nội tiếp \(\Rightarrow \) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD trùng với đường tròn ngoại tiếp hình thang ABCD.

Gọi I là trung điểm AD. Do AB = CD = BC = a, AD = 2a, ta dễ dàng chứng minh được I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD  \(\Rightarrow \) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD, SA.

\(\Rightarrow MI,\,MN\) là các đường trung bình của tam giác SAD

\(\Rightarrow MI//SA,\,\,MN//AD\)

Mà \(SA\bot (ABCD)\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & MI\bot (ABCD) \\ & MN\bot SA \\\end{align} \right.\)

\(\Rightarrow MB=MC=MD=MA,\,\,\,\,\,MN\) là trung trực của SA

\(\Rightarrow MB=MC=MD=MS\,\,\,(=MA)\)

\(\Rightarrow M\)là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD.

Bán kính \(R=MS=\frac{SD}{2}=\frac{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{{{(2a)}^{2}}+{{(2a)}^{2}}}}{2}=a\sqrt{2}\)

Thể tích mặt cầu:  \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{\left( a\sqrt{2} \right)}^{3}}=\frac{8\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}\)

Chọn: C