Phương pháp giải:

Điều kiện để hàm số bậc bốn trùng phương \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có 1 điểm cực đại:

TH1: Hàm số chỉ có 1 cực trị và đó là điểm cực đại \( \Rightarrow \left\{ \matrix{  a < 0 \hfill \cr   b \le 0 \hfill \cr}  \right.\)

TH2: Hàm số có 3 điểm cực trị trong đó có 2 cực tiểu và 1 cực đại \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  a > 0 \hfill \cr   b < 0 \hfill \cr}  \right.\)

Lời giải chi tiết:

Khi \(m = 0\) hàm số có dạng \(y =  - {x^2} + 1\) là parabol có bề lõm hướng xuống dưới, có 1 cực đại tại đỉnh của parabol.

Khi \(m \ne 0\):

Để hàm số bậc bốn trùng phương \(y = m{x^4} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + 1\) có 1 điểm cực đại:

TH1: Hàm số chỉ có 1 cực trị và đó là điểm cực đại \( \Rightarrow \left\{ \matrix{  m < 0 \hfill \cr    - 2m - 1 \le 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  m < 0 \hfill \cr   m \ge  - {1 \over 2} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow  - {1 \over 2} \le m < 0\)

TH2: Hàm số có 3 điểm cực trị trong đó có 2 cực tiểu và 1 cực đại \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  m > 0 \hfill \cr    - 2m - 1 < 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  m > 0 \hfill \cr   m >  - {1 \over 2} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow m > 0\)

Kết hợp cả 2 trường hợp ta có: \(m \in \left[ { - {1 \over 2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Vậy \(m \in \left[ { - {1 \over 2}; + \infty } \right)\) hay \(m \ge  - {1 \over 2} \Rightarrow k = {{ - 1} \over 2} \in \left( { - 1;0} \right)\).

Chọn A.