Câu hỏi
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, \(AB=a,BC=a\sqrt{3}\), góc hợp bởi đường thẳng AA’ và mặt phẳng (A’B’C) bằng \({{45}^{0}}\), hình chiếu vuông góc của B’ lên (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thế tích V khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
- A \(V=\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{9}\)
- B \(V=\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}\)
- C \(V={{a}^{3}}\)
- D \(V=\frac{{{a}^{3}}}{3}\)
Phương pháp giải:
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow B'H\bot \left( ABC \right)\Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}=B'H.{{S}_{ABC}}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow B'H\bot \left( ABC \right)\)
Ta có: \(\widehat{\left( AA';\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( BB';\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( BB';BH \right)}=\widehat{B'BH}={{45}^{0}}\)
Xét tam giác vuông ABC có:
\(\begin{align}& AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=2a\Rightarrow BM=\frac{1}{2}AC=a\Rightarrow BH=\frac{2}{3}BM=\frac{2a}{3} \\ & \Rightarrow B'H=BM.\tan {{45}^{0}}=\frac{2a}{3} \\ & {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{2}a.a\sqrt{3}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2} \\ & \Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}=B'H.{{S}_{ABC}}=\frac{2a}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3} \\ \end{align}\)
Chọn B.
Câu hỏi trước
