Phương pháp giải:

Tính y’, để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;3} \right) \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\) và \(y' = 0\) tại hữu hạn điểm.

Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng \(f\left( x \right) \ge m \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0;3} \right)} f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: D = R.

Ta có: \(y' = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m + 1\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;3} \right) \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\) và \(y' = 0\) tại hữu hạn điểm.

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m + 1 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 \ge  - 2m\left( {x + 1} \right)\,\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow f\left( x \right) = {{{x^2} - 2x + 1} \over {x + 1}} \ge  - 2m\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)  \cr   &  \Rightarrow  - 2m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0;3} \right)} f\left( x \right) \cr} \)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {{{x^2} - 2x + 1} \over {x + 1}}\) trên \(\left( {0;3} \right)\) ta có:

\(\eqalign{  & f'\left( x \right) = {{\left( {2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - {x^2} + 2x - 1} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} + 2x - 3} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 1 \in \left( {0;3} \right) \hfill \cr   x =  - 3 \notin \left( {0;3} \right) \hfill \cr}  \right.  \cr   & f\left( 0 \right) = 1,\,\,f\left( 1 \right) = 0;\,\,f\left( 3 \right) = 1 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {0;3} \right)} f\left( x \right) = 0  \cr   &  \Rightarrow  - 2m \le 0 \Leftrightarrow m \ge 0 \cr} \)

Khi \(m = 0\) ta có \(y' = {x^2} - 2x + 1 = 0\, \Leftrightarrow y'= (x-1)^2 \geq 0  \Rightarrow\) hàm số đồng biến.

Vậy để hàm số đồng biến  trên \(\left( {0;3} \right)\) thì \(m \ge 0\).

Chọn A.