Phương pháp giải:

Giải phương trình \(y' = 0\), tìm điều kiện của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số, tam giác tạo thành bởi ba điểm cực trị luôn là tam giác cân. Tìm điều kiện để tam giác cân đó trở thành tam giác đều.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: D = R.

\(y' =  - 4{x^3} - 2\left( {m - 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \hfill \cr   2{x^2} = 1 - m\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr}  \right.\)

Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow pt\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \( \Rightarrow 1 - m > 0 \Rightarrow m < 1\).

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow A\left( {0;1} \right) \hfill \cr   x = \sqrt {{{1 - m} \over 2}}  \Rightarrow y = {{{{\left( {1 - m} \right)}^2}} \over 4} + 1 \Rightarrow B\left( {\sqrt {{{1 - m} \over 2}} ;{{{{\left( {1 - m} \right)}^2}} \over 4} + 1} \right) \hfill \cr   x =  - \sqrt {{{1 - m} \over 2}}  \Rightarrow y = {{{{\left( {1 - m} \right)}^2}} \over 4} + 1 \Rightarrow C\left( { - \sqrt {{{1 - m} \over 2}} ;{{{{\left( {1 - m} \right)}^2}} \over 4} + 1} \right) \hfill \cr}  \right.\)

Dễ thấy \(\Delta ABC\) cân tại A.

Để  \(\Delta ABC\) đều \( \Leftrightarrow AB = BC \Leftrightarrow A{B^2} = B{C^2}\)

Ta có \(A{B^2} = {{1 - m} \over 2} + {{{{\left( {1 - m} \right)}^4}} \over {16}},\,\,B{C^2} = 4.{{1 - m} \over 2} = 2\left( {1 - m} \right)\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow {{1 - m} \over 2} + {{{{\left( {1 - m} \right)}^4}} \over {16}} = 2\left( {1 - m} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow {{{{\left( {1 - m} \right)}^4}} \over {16}} = {3 \over 2}\left( {1 - m} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  1 - m = 0 \hfill \cr   {{{{\left( {1 - m} \right)}^3}} \over {16}} = {3 \over 2} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  m = 1\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr   m = 1 - 2\root 3 \of 3 \,\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Chọn A.