Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón: \({{S}_{xq}}=\pi rl;\,\,{{S}_{tp}}=\pi rl+\pi {{r}^{2}}\) trong đó r. l lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón. Tính r, l.

Sử dụng công thức tính thể tích khối nón \(V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h\). Với \(h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}\) là độ dài đường cao của hình nón.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}  & {{S}_{xq}}=\pi rl=6\pi  \\  & {{S}_{tp}}=\pi rl+\pi {{r}^{2}}=10\pi \Rightarrow \pi {{r}^{2}}=4\pi \Leftrightarrow {{r}^{2}}=4\Leftrightarrow r=2 \\  & \Rightarrow \pi .2.l=6\pi \Rightarrow l=3 \\  & \Rightarrow h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5} \\  & \Rightarrow V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{.2}^{2}}.\sqrt{5}=\frac{4\sqrt{5}\pi }{3} \\ \end{align}\)

Chọn C.