Phương pháp giải:

Tập giá trị của hàm số chính là khoảng (đoạn) chứa max – min của hàm số, quy đồng đưa về xét phương trình lượng giác cơ bản để tìm max – min

Lời giải chi tiết:

Ta có, gt \(\Leftrightarrow y.\sin x+y.\cos x+2y=\sin x+2\cos x+1\)\(\Leftrightarrow \left( y-2 \right)\cos x+\left( y-1 \right)\sin x=1-2y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)

Để phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm \(\Leftrightarrow \,\,{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\ge {{\left( 1-2y \right)}^{2}}\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}-6y+5\ge 4{{y}^{2}}-4y+1\)

\(\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}+2y-4\le 0\Leftrightarrow \left( y-1 \right)\left( y+2 \right)\le 0\Leftrightarrow -\,2\le y\le 1.\)

Vậy tập giá trị của hàm số là \(T=\left[ -\,2;1 \right].\)

Chọn A.