Phương pháp giải:

Giải phương trình hoành độ giao điểm, suy ra các nghiệm \(x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\).

\( \Rightarrow S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(S\left( m \right)\) trên \(\left[ {1;3} \right]\).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\eqalign{  & {2 \over 3}{x^3} - 3m{x^2} - 2{m^3} =  - {{{x^3}} \over 3} + m{x^2} - 5{m^2}x  \cr   &  \Leftrightarrow {x^3} - 4m{x^2} + 5{m^2}x - 2{m^3} = 0  \cr   &  \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{x^2} - 3mx + 2{m^2}} \right) = 0  \cr   &  \Leftrightarrow {\left( {x - m} \right)^2}\left( {x - 2m} \right) = 0  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = m \hfill \cr   x = 2m \hfill \cr}  \right. \cr} \)

\(m \in \left[ {1;3} \right] \Rightarrow m < 2m\) và khi \(x \in \left( {m;2m} \right) \Rightarrow x < 2m \Rightarrow {x^3} - 4m{x^2} + 5{m^2}x - 2{m^3} < 0\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) là:

\(\eqalign{  & S = \int\limits_m^{2m} {\left| {{x^3} - 4m{x^2} + 5{m^2}x - 2{m^3}} \right|dx}  = \int\limits_m^{2m} {\left( { - {x^3} + 4m{x^2} - 5{m^2}x + 2{m^3}} \right)dx}   \cr   &  = \left. {\left( { - {{{x^4}} \over 4} + 4m{{{x^3}} \over 3} - 5{m^2}{{{x^2}} \over 2} + 2{m^3}x} \right)} \right|_m^{2m} = {{{m^4}} \over {12}}  \cr   & m \in \left[ {1;3} \right] \Rightarrow {1 \over {12}} \le S \le {{27} \over 4} \Rightarrow \left\{ \matrix{  N = {{27} \over 4} \hfill \cr   n = {1 \over {12}} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow N - n = {{20} \over 3}. \cr} \)

Chọn B.