Phương pháp giải:

\(\eqalign{  & {\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right){\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1 - {3 \over 4}{\sin ^2}2x = {1 \over 4} + {3 \over 4}{\cos ^2}2x  \cr   & {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1 - {1 \over 2}{\sin ^2}2x = {1 \over 2} + {1 \over 2}{\cos ^2}2x \cr} \)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & A = 2{\sin ^6}x + 2{\cos ^6}x - {\sin ^4}x - {\cos ^4}x + \cos 2x = 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right) - \left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) + \cos 2x  \cr   &  = 2\left( {{1 \over 4} + {3 \over 4}{{\cos }^2}2x} \right) - \left( {{1 \over 2} + {1 \over 2}{{\cos }^2}2x} \right) + \cos 2x = {\cos ^2}2x + \cos 2x \cr} \)

Đặt \(\cos 2x = t,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

Khi đó, \(A = {t^2} + t,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\). Ta có:

\(A = {t^2} + t = {\left( {t + {1 \over 2}} \right)^2} - {1 \over 4} \ge  - {1 \over 4}\,\,\,\, \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} A =  - {1 \over 4}\) khi và chỉ khi \(t =  - {1 \over 2} \Rightarrow m =  - {1 \over 4}\).

\(A = {t^2} + t = {t^2} - t + 2t - 2 + 2 = t(t - 1) + 2(t - 1) + 2 = (t - 1)(t + 2) + 2 \le 2\) ( vì \(t \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow t - 1 \le 0,\,\,t + 2 > 0\))

\( \Rightarrow \mathop {{\rm{Max}}}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} A = 2\) khi và chỉ khi \(t = 1 \Rightarrow M = 2\)

Vậy, \(M + m = 2 + {{ - 1} \over 4} = {7 \over 4}\).

Chọn: C.