Phương pháp giải:

Điểm \({x_0}\) được gọi là điểm cực đại (cực tiểu) của đồ thị hàm số \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \hfill \cr   f''\left( {{x_0}} \right) < 0 \hfill \cr}  \right.\,\,\,\left( {\left\{ \matrix{  f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \hfill \cr   f''\left( {{x_0}} \right) > 0 \hfill \cr}  \right.} \right)\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ : D = R.

Ta có \(y' = {x^2} + \left( {{k^2} - 5k} \right)x + 5 - 2k;\,\,y'' = 2x + {k^2} - 5k\)

Điểm \(x = 1\) là điểm cực tiểu của hàm số

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  y'\left( 1 \right) = 0 \hfill \cr   y''\left( 1 \right) > 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  1 + {k^2} - 5k + 5 - 2k = 0 \hfill \cr   2 + {k^2} - 5k > 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {k^2} - 7k + 6 = 0 \hfill \cr   {k^2} - 5k + 2 > 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  \left[ \matrix{  k = 1 \hfill \cr   k = 6 \hfill \cr}  \right. \hfill \cr   \left[ \matrix{  k > {{5 + \sqrt {17} } \over 2} \hfill \cr   k < {{5 - \sqrt {17} } \over 2} \hfill \cr}  \right. \hfill \cr}  \right. \Rightarrow k = 6\)

Chọn C.