Phương pháp giải:

Đặt \({x^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)\) , phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình ẩn \(t\) có 2 nghiệm dương phân biệt.

Lời giải chi tiết:

\(4{x^2}\left( {1 - {x^2}} \right) = 1 - k \Leftrightarrow 4{x^4} - 4{x^2} + 1 - k = 0\)

Đặt \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta có: \(4{t^2} - 4t + 1 - k = 0\,\,\left( * \right)\)

Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm thực phân biệt \( \Leftrightarrow pt\left( * \right)\) có 2 nghiệm dương phân biệt.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - 4\left( {1 - k} \right) > 0\\1 > 0\\\frac{{1 - k}}{4} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - k < 1\\1 - k > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < k < 1\)

Chọn A.