Phương pháp giải:

Dựng tâm đường tròn ngoại tiếp \(H\) tam giác \(ABC\), dựng tâm \(I\) của đường tròn ngoại tiếp chóp \(S.ABC\)

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Sử dụng các công thức tính diện tích tam giác \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{AB.AC.BC}}{{4R}}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\), qua \(H\) kẻ đường thẳng \(d//SA \Rightarrow d \bot \left( {ABC} \right)\)

Gọi \(K\) là trung điểm của \(SA\), qua \(K\) kẻ đường thẳng song song với \(AH\) cắt \(d\) tại \(I\)

\( \Rightarrow I\) là tăm mặt cầu ngoại tiếp tam giác \(ABC\(

Xét tam giác vuông \(AHI\) có

\(AH = \sqrt {A{I^2} - I{H^2}}  = \sqrt {A{I^2} - {{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2}}  = \frac{a}{{\sqrt 2 }} = R\)

Ta có

\(\begin{array}{l}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin {45^0} = \frac{{AB.AC.BC}}{{4R}}\\ \Rightarrow BC = 2R.\sin {45^0} = \frac{{2a}}{{\sqrt 2 }}.\frac{1}{{\sqrt 2 }} = a\end{array}\)

Chọn A.