Phương pháp giải:

Dựa vào điều kiện để một điểm là điểm cực trị của hàm số

Lời giải chi tiết:

Ta có \({f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+2mx+5 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0;\,\,x=-\,1 \\  & {{x}^{2}}+2mx+5=0\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right) \\ \end{align} \right..\)

Vì \({f}'\left( x \right)\) không đổi dấu qua nghiệm \(x=0\) nên hàm số không đạt cực trị tại \(x=0.\)

Do đó, hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đúng một cực trị trong các trường hợp sau:

1. Phương trình \(\left( * \right)\) vô nghiệm. Khi đó \({\Delta }'={{m}^{2}}-5<0\Leftrightarrow -\,\sqrt{5}<m<\sqrt{5}.\)

2. Phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm kép bằng \(-\,1.\) Khi đó \(\left\{ \begin{align}& {\Delta }'={{m}^{2}}-5=0 \\ & {{1}^{2}}-2m+5=0 \\ \end{align} \right.\) (hệ vô nghiệm).

3. Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng \(-\,1.\)

Khi đó 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' = {m^2} - 5 > 0\\
{1^2} - 2m + 5 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 5 > 0\\
m = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3.\)

Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên \(m\) cần tìm.

Chọn C.