Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức \(1 + {\cot ^2}\alpha  = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }},\,\,\cot \left( {a - b} \right) = {{\cot a\cot b + 1} \over {\cot a - \cot b}}\)

- Xét dấu giá trị lượng giác.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(1 + {\cot ^2}\alpha  = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }} \Leftrightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha  = {1 \over {{{\left( { - {4 \over 5}} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\cot ^2}\alpha  = {9 \over {16}} \Leftrightarrow \left[ \matrix{  \cot \alpha  = {3 \over 4} \hfill \cr   \cot \alpha  =  - {3 \over 4} \hfill \cr}  \right.\)

Vì \(\pi  < \alpha  < {{3\pi } \over 2} \Rightarrow \left\{ \matrix{  \sin \alpha  < 0 \hfill \cr   \cos \alpha  < 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \cot \alpha  > 0 \Rightarrow \cot \alpha  = {3 \over 4}\)

\(\cot \left( {\alpha  - {\pi  \over 4}} \right) = {{\tan \alpha \tan {\pi  \over 4} + 1} \over {\tan \alpha  - \tan {\pi  \over 4}}} = {{{4 \over 3}.1 + 1} \over {{4 \over 3} - 1}} = 7\)

Chọn: B.