Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức: 

\(\begin{array}{l}\cot \alpha .\tan \alpha = 1,\,\,\,\sin 2\alpha =\frac{{2\tan \alpha }}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}},\,\,\,\cos 2\alpha =\frac{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}\,,\,\,\\\sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \sin \alpha ,\,\,(k \in Z),\,\,\,\,\sin \left({a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\,\,\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\cot \alpha  = {2 \over 3} \Rightarrow \tan \alpha  = {3 \over 2}\)

\(\sin 2\alpha  = {{2\tan \alpha } \over {{{\tan }^2}\alpha  + 1}} = {{2.{3 \over 2}} \over {{{\left( {{3 \over 2}} \right)}^2} + 1}} = {3 \over {{{13} \over 4}}} = {{12} \over {13}},\,\,\,\cos 2\alpha  = {{1 - {{\tan }^2}\alpha } \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }} = {{1 - {{\left( {{3 \over 2}} \right)}^2}} \over {1 + {{\left( {{3 \over 2}} \right)}^2}}} = {{ - {5 \over 4}} \over {{{13} \over 4}}} =  - {5 \over {13}}\)

\(\sin \left( {2\alpha  + {{7\pi } \over 4}} \right) = \sin \left( {2\alpha  - {\pi  \over 4} + 2\pi } \right) = \sin \left( {2\alpha  - {\pi  \over 4}} \right) = \sin 2\alpha \cos {\pi  \over 4} - \cos 2\alpha \sin {\pi  \over 4} = {{12} \over {13}}.{{\sqrt 2 } \over 2} - \left( { - {5 \over {13}}} \right).{{\sqrt 2 } \over 2} = {{17\sqrt 2 } \over {26}}\)

Chọn: D.