Phương pháp giải:

Dựa vào điều kiện để hàm số bậc ba đồng biến trên toàn tập xác định. Hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\Leftrightarrow f'\left( x \right)\ge 0\ \forall x\in \mathbb{R}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \({f}'\left( x \right)=m{{x}^{2}}-4mx+3m+5;\,\,\forall x\in \mathbb{R}.\)

TH1. Với \(m=0,\) khi đó \({f}'\left( x \right)=5>0;\,\,\forall x\in \mathbb{R}\)\(\Rightarrow \) Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

TH2. Với \(m\ne 0,\) để hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\,\,\Leftrightarrow \,\,{f}'\left( x \right)\ge 0;\,\,\forall x\in \mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow \,\,m{{x}^{2}}-4mx+3m+5\ge 0;\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{align}  & a=m>0 \\  & {\Delta }'={{\left( -\,2m \right)}^{2}}-m\left( 3m+5 \right)\le 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 0<m\le 5.\)

Kết hợp với \(m\in \mathbb{Z},\) ta được \(m=\left\{ 0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5 \right\}\) là giá trị cần tìm.

Chọn A