Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tỉ số thể tích và công thức tính thể tích khối chóp.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD,\) nối \(SO\cap {B}'{D}'=I.\)

Và nối \(AI\) cắt \(SC\) tại \({C}'\) suy ra \(mp\,\,\left( A{B}'{D}' \right)\) cắt \(SC\) tại \({C}'.\)

Tam giác \(SAC\) vuông tại \(A,\) có \(S{{C}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}=6{{a}^{2}}\Rightarrow SC=a\sqrt{6}.\)

Ta có \(BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot A{B}'\) và \(SB\bot A{B}'\)\(\Rightarrow \,\,A{B}'\bot SC.\)

Tương tự \(A{D}'\bot SC\) suy ra \(SC\bot \left( A{B}'{D}' \right)\equiv \left( A{B}'{C}'{D}' \right)\Rightarrow SC\bot A{C}'.\)

Mà \(S{C}'.SC=S{{A}^{2}}\Rightarrow \frac{S{C}'}{SC}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{C}^{2}}}=\frac{2}{3}\) và \(\frac{S{B}'}{SB}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\frac{4}{5}.\)

Do đó \({{V}_{S.A{B}'{C}'}}=\frac{8}{15}{{V}_{S.ABC}}=\frac{8}{30}{{V}_{S.ABCD}}\) mà \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{2{{a}^{3}}}{3}.\)

Vậy thể tích cần tính là \({{V}_{S.A{B}'{C}'{D}'}}=2.{{V}_{S.A{B}'{C}'}}=\frac{16{{a}^{3}}}{45}.\)

Chọn B