Lời giải chi tiết:

Theo quy tắc ba điểm ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

Mà sin \(\angle ABC = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow AC = BC.\sin \angle ABC = a\sqrt 5 .\sin {30^0} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Do đó:\(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {AB} \)

Ta có: \(A{C^2} + A{B^2} = B{C^2} \Rightarrow AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}}  = \sqrt {5{a^2} - \frac{{5{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}\)

Vì vậy \(\left| {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}\)

Gọi \(D\) là điểm sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có:\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD} \)

Vì \(\Delta ABC\) vuông ở \(A\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow AD = BC = a\sqrt 5 .\)

Vậy: \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = a\sqrt 5 \)