Phương pháp giải:

Dựng hình và tính diện tích hình thang cân đưa về khảo sát hàm số tìm max – min

Lời giải chi tiết:

Đặt \(DH=x.\) Ta có: \(DC=2x+1\Rightarrow AH=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\)

\({{S}_{ABCD}}=\frac{1+2x+1}{2}\sqrt{1-{{x}^{2}}}=\left( 1+x \right)\sqrt{1-{{x}^{2}}}\)

\(=\sqrt{\frac{\left( 1+x \right)\left( 1+x \right)\left( 1+x \right)\left( 3-3x \right)}{3}}\)

\(\le \frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( \frac{1+x+1+x+1+x+3-3x}{4} \right)}^{4}}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

\(\Rightarrow {{S}_{\max }}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow 1+x=3-3x\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.\)

Chọn D