Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp tính diện tích hình phẳng của hai đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{P}_{1}} \right)\) và \(\left( {{P}_{2}} \right)\) là \(-\,{{x}^{2}}+2x+1=2{{x}^{2}}-4x+1\Leftrightarrow \left[ \begin{align} x=0 \\  x=2 \\ \end{align} \right..\)

Khi đó, diện tích hình phẳng cần tính là \(S=\int\limits_{0}^{2}{\left| -\,{{x}^{2}}+2x+1-2{{x}^{2}}+4x-1 \right|\,\text{d}x}=3\,\int\limits_{0}^{2}{\left| {{x}^{2}}-2x \right|\,\text{d}x}\)

                                                            \(=3\,\left| \int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\,\text{d}x} \right|=3\,\left| \left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{2} \right|=3\left| \frac{{{2}^{3}}}{3}-{{2}^{2}} \right|=3.\frac{4}{3}=4.\)

Vậy diện tích \(S=4.\)

Chọn A