Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {{x^3} + 1} \)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {{x^3} + 1}  \Leftrightarrow {t^2} = {x^3} + 1 \Leftrightarrow 2tdt = 3{x^2}dx \Leftrightarrow {x^2}dx = {2 \over 3}tdt\)

Đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 0 \Rightarrow t = 1 \hfill \cr   x = 2 \Rightarrow t = 3 \hfill \cr}  \right.\), khi đó ta có: \(I = \int\limits_1^3 {{{2{t^2}} \over 3}dt}  = \left. {{2 \over 3}.{{{t^3}} \over 3}} \right|_1^3 = 6 - {2 \over 9} = {{52} \over 9}\)

Chọn C.